4. Solidele Platon ;
caracteristici
4.1. Definiţia poliedrului; elemente;
unghiul poliedral
Orice corp mărginit de feţe
poligonale plane se numeşte poliedru;
(poli - multe
+ hedron – bază). Intersecţia a două feţe este o muchie
a poliedrului, cele două feţe formează un unghi
diedru.
Vârful
poliedrului este un punct determinat de
intersecţia a cel puţin trei feţe; partea din spaţiu delimitată
astfel se numeşte unghi poliedru.
Un unghi poliedru este format din cel puţin trei feţe.
Echivalentul poliedrului în două dimensiuni este poligonul.
Dacă un unghi poliedru nu este străbătut
de nici unul din planele care îl formează, se numeşte unghi poliedru convex; în caz contrar avem
un unghi poliedru concav.
nghiul diedru reprezintă partea din spaţiu cuprinsă între două semiplane
ce au originea comună. Unghiul plan corespunzător unui unghi diedru are
vârful pe muchia şi laturile perpendiculare pe muchia diedrului.
Teorema nr. 1: Într-un poliedru, un unghi plan are măsura mai mică decât suma
măsurilor celorlalte unghiuri plane care participă la construcţie.
Teorema nr. 2: Suma unghiurilor plane ale unui poliedru convex este mai mică decât patru
unghiuri drepte.
Demonstraţii: Un unghi poliedru maxim desfăşurat
pe un plan – acoperă planul; situaţia este asemănătoare cu
următoarea: în planul 
punctul O este fix şi
un număr de semidrepte distincte au originea comună în O, unghiurile formate consecutiv de câte două semidrepte – acoperă planul. Dacă eliminăm unul dintre aceste unghiuri, de exemplu 
şi prin faptul că
facem să coincidă semidreptele Ow şi Ov , atunci unghiul poliedru nu mai
este maxim şi , evident , suma măsurilor unghiurilor plane ce îl compun este mai mică decât suma
măsurilor a patru unghiuri drepte.
Observaţie:
Noţiunea de poliedru în D3 ( spaţiul cu trei
dimensiuni ) este generalizarea firească a noţiunii de poligon din D2 (spaţiul cu două dimensiuni).
Suprafaţa poliedrului este alcătuită din vârfuri ( puncte; zero-dimensionale), muchii (segmente;unidimensionale) şi suprafeţe (poligoane;bidimensionale).
Are importanţă care dintre feţe este considerată bază a corpului studiat; la poliedrele oarecare, schimbând faţa care este considerată bază se modifică unele raţionamente
ce au legătură cu acel corp.
4.2. Unghiul poliedral regulat;
poliedru regulat: definiţii, elemente
Definiţia nr. 1: Se numeşte poliedru convex
figura geometrică mărginită de suprafeţe poligonale cu vârfurile in acelaşi
semispaţiu închis determinat de fiecare
suprafaţă poligonală.
Definiţia nr. 2: Se numeşte suprafaţă poliedrală regulată, o suprafaţă poliedrală convexă pentru care toate feţele sunt
congruente intre ele şi fiecare vârf aparţine
aceluiaşi număr de muchii.
Definiţia nr. 3: Un poliedru convex P se numeşte poliedru
regulat dacă fiecare vîrf al lui P aparţine aceluiaşi număr de muchii,toate feţele sunt suprafeţe poligonale regulate congruente şi toate
unghiurile diedre determinate de feţe cu muchie comună sunt congruente.
Definiţia nr. 4: Un unghi poliedru regulat este
un unghi convex cu unghiurile plane congruente şi unghiurile diedre congruente.
Propoziţie: Există numai cinci unghiuri poliedrale regulate: tetraedric, hexaedric, octaedric, dodecaedric şi icosaedric.
Demonstraţia: a fost stabilită de elevul lui
Platon: Teetet din Atena
Platon primeşte demonstraţia de la elevul său cât şi metoda de a construi
poligoanele regulate; toate acestea l-au încântat. Euclid redă aceste descoperiri în
cartea a XIII-a a „Elementelor“, duce mai departe
aceste descoperiri arătând cum pot fi înscrise toate cinci într-o sferă, iar în finalul cărţii redă prin cuvinte proprii demonstraţia lui Teetet:
„ Nu se poate construi un unghi poliedru din două triunghiuri şi nici din
două figuri plane. Dar cu trei triunghiuri se poate construi vârful piramidei, cu patru triunghiuri al octaedrului, cu cinci acela al icosaedrului. Însă cu 6 triunghiuri echilaterale, reunite într-un punct, nu se va forma un unghi poliedru, căci unghiul triunghiului echilateral fiind de 600 – toate şase
vor fi egale cu 3600 , adică cu patru unghiuri drepte, cea ce nu se poate. Din aceeaşi cauză un unghi poliedru nu se va putea
construi cu mai mult decât şase dintre aceste unghiuri plane. La cub, în jurul unui vârf sunt trei pătrate şi patru pătrate nu pot forma un
unghi poliedru pentru ca intervin din nou patru unghiuri drepte.
Cât despre
pentagoanele echilaterale şi echiunghiulare, trei formează vârful dodecaedrului, iar patru dau o sumă mai mare
decât pentru unghiuri drepte, deci nu pot forma un unghi
poliedru.
Cu alte poligoane regulate, din aceeaşi cauză nu se mai poate construi un unghi poliedral“.
Următoarele afirmaţii sunt valabile pentru fiecare din
cele cinci poliedre:
1. Vârfurile se află pe o sferă ( sfera circumscrisă ).
2. Unghiurile plane corespunzătoare diedrelor aceluiaşi solid sunt congruente.
3. Feţele aceluiaşi solid sunt poligoane congruente.
4. Unghiurile solide ( poliedrale ) din acelaşi solid sunt echivalente.
5. În vârfurile aceluiaşi solid se întâlnesc acelaşi număr de muchii ( un
vârf este înconjurat de acelaşi număr de feţe).
Observaţie : Pentru poliedrul regulat oricare dintre feţele lui este posibil să fie
aleasă ca bază, suportul ( faţa „pe care stă poliedrul“). Există corpuri geometrice care au feţele laterale
poligoane regulate congruente şi unghiurile diedre formate de două feţe
laterale aşezate consecutiv – congruente şi primesc denumirea de regulate, dar aceasta se face în sens restrâns, corpul este regulat numai dacă are ca bază - faţa
din momentul prezentării; dacă alegem altă faţă să-i
fie bază, acel corp nu mai este regulat.
Un Solid Platon este regulat indiferent care
dintre feţe alegem să-i fie bază.
