duminică, 2 decembrie 2012

89 .Solidele Platon ( 19 )

asx

4.  Solidele  Platon ;  caracteristici   

4.1. Definiţia  poliedrului;  elemente;   unghiul poliedral

Orice corp mărginit de feţe poligonale plane se numeşte poliedru;
(poli - multe +  hedron – bază). Intersecţia a două feţe este o muchie a poliedrului, cele două feţe formează un unghi diedru. Vârful poliedrului este un punct determinat de intersecţia a cel puţin trei feţe; partea din spaţiu delimitată astfel se numeşte unghi poliedru.
Un unghi poliedru este format din cel puţin trei feţe.
Echivalentul poliedrului în două dimensiuni este poligonul.



 

Dacă un unghi poliedru nu este  străbătut de nici unul din planele care îl formează, se numeşte unghi  poliedru convex; în caz contrar avem
 un unghi poliedru concav.
 



nghiul diedru reprezintă partea din spaţiu cuprinsă între două semiplane ce au originea comună. Unghiul plan corespunzător unui unghi diedru are vârful pe muchia şi laturile perpendiculare pe muchia diedrului.


  
Teorema nr. 1: Într-un poliedru, un unghi plan are măsura mai mică decât suma măsurilor celorlalte unghiuri plane care participă la construcţie.
Teorema nr. 2: Suma unghiurilor plane ale unui poliedru convex este mai mică decât patru unghiuri drepte.
Demonstraţii:  Un unghi poliedru maxim desfăşurat pe un plan – acoperă planul; situaţia este asemănătoare cu următoarea: în planul  punctul O este fix şi un număr de semidrepte distincte au originea comună în O, unghiurile formate consecutiv de câte două semidrepte – acoperă planul. Dacă eliminăm unul dintre aceste unghiuri, de exemplu  şi prin faptul că facem să coincidă semidreptele Ow şi Ov , atunci unghiul poliedru nu mai este maxim şi , evident , suma măsurilor unghiurilor plane ce îl compun este mai mică decât suma măsurilor a patru unghiuri drepte.
Observaţie:
     Noţiunea de poliedru în D3 ( spaţiul cu trei dimensiuni ) este generalizarea firească a noţiunii de poligon din D2 (spaţiul cu două dimensiuni).
Suprafaţa poliedrului este alcătuită din vârfuri ( puncte; zero-dimensionale), muchii (segmente;unidimensionale) şi suprafeţe (poligoane;bidimensionale).
Are importanţă care dintre feţe este considerată bază a corpului studiat; la poliedrele oarecare, schimbând faţa care este considerată bază se modifică unele raţionamente ce au legătură cu acel corp.

4.2. Unghiul poliedral regulat;  poliedru  regulat: definiţii,  elemente

Definiţia nr. 1: Se numeşte poliedru convex figura geometrică mărginită de suprafeţe poligonale cu vârfurile in acelaşi semispaţiu închis determinat de  fiecare suprafaţă poligonală.
Definiţia nr. 2: Se numeşte suprafaţă poliedrală regulată, o suprafaţă poliedrală convexă pentru care toate feţele sunt congruente intre ele şi fiecare vârf aparţine  aceluiaşi număr de muchii.
Definiţia nr. 3: Un poliedru convex P se numeşte poliedru regulat dacă fiecare vîrf al lui P aparţine aceluiaşi număr de muchii,toate feţele sunt suprafeţe poligonale regulate congruente şi toate unghiurile diedre determinate de feţe cu muchie comună sunt congruente.
Definiţia nr. 4: Un unghi poliedru regulat este un unghi convex cu unghiurile plane congruente şi unghiurile diedre congruente.
Propoziţie: Există numai cinci unghiuri poliedrale regulate: tetraedric, hexaedric, octaedric, dodecaedric şi icosaedric. 
Demonstraţia:  a fost stabilită de elevul lui Platon: Teetet din Atena
Platon primeşte demonstraţia de la elevul său cât şi metoda de a construi poligoanele regulate; toate acestea l-au încântat.  Euclid redă aceste descoperiri în cartea a XIII-a a Elementelor“, duce mai departe aceste descoperiri arătând cum pot fi înscrise toate cinci într-o sferă, iar în finalul cărţii redă prin cuvinte proprii demonstraţia lui Teetet:
Nu se poate construi un unghi poliedru din două triunghiuri şi nici din două figuri plane. Dar cu trei triunghiuri se poate construi vârful piramidei, cu patru triunghiuri al octaedrului, cu cinci acela al icosaedrului.  Însă cu 6 triunghiuri echilaterale, reunite într-un punct, nu se va forma un unghi poliedru, căci unghiul triunghiului echilateral fiind de 600 – toate şase vor fi egale cu 3600 , adică cu patru unghiuri drepte, cea ce nu se poate. Din aceeaşi cauză un unghi poliedru nu se va putea construi cu mai mult decât şase dintre aceste unghiuri plane. La cub, în jurul unui vârf sunt trei pătrate şi patru pătrate nu pot forma un unghi poliedru pentru ca intervin din nou patru unghiuri drepte.
  Cât despre pentagoanele echilaterale şi echiunghiulare, trei formează vârful dodecaedrului, iar patru dau o sumă mai mare decât pentru unghiuri drepte, deci nu pot forma un unghi poliedru.
Cu alte poligoane regulate, din aceeaşi cauză nu se mai poate construi un unghi poliedral“.
Următoarele afirmaţii sunt valabile pentru fiecare din cele cinci poliedre:
1. Vârfurile se află pe o sferă ( sfera circumscrisă ).
2. Unghiurile plane corespunzătoare diedrelor aceluiaşi solid sunt congruente.
3. Feţele aceluiaşi solid sunt poligoane congruente.
4. Unghiurile solide ( poliedrale ) din acelaşi solid sunt echivalente.
5. În vârfurile aceluiaşi solid se întâlnesc acelaşi număr de muchii ( un vârf este înconjurat de acelaşi număr de feţe). 



Observaţie : Pentru poliedrul regulat oricare dintre feţele lui este posibil să fie aleasă ca bază, suportul ( faţa pe care stă poliedrul). Există corpuri geometrice care au feţele laterale poligoane regulate congruente şi unghiurile diedre formate de două feţe laterale aşezate consecutiv – congruente şi primesc denumirea de regulate, dar aceasta se face în sens restrâns, corpul este regulat numai dacă are ca bază - faţa din momentul prezentării; dacă alegem altă faţă să-i fie bază, acel corp nu mai este regulat.
   Un Solid Platon este regulat indiferent care dintre feţe alegem să-i fie bază.


2 comentarii:

  1. De multe ori mă întrebam - Oare ce mai face distinsul Grigore Rotaru? Vorba dvs. puteam ţipa ,,până se mişca frunza-n rai''dacă nu apăreaţi cu ştiinţele exacte,,Solidele Platon''. Cu geometria avansată care, nu poate sta decât la îndemâna acelora aplecaţi înspre astfel de ştiinţă.

    RăspundețiȘtergere
  2. Surprize placute,

    Despre acest subiect ( partea neezoterica - mai mult ) am a posta multe articole : nu-s multumit cu tehnologia de fata , cineva mi-a promis ca ma ajuta sa asimilez tehnologia PDF.
    Indraznesc niste adrese :
    http://noulpamant.ro/articole/interviuri-de-suflet/5-intrebari-pentru-suflet-raspunde-grigore-rotaru/

    si

    http://www.revistahelis.ro/revista/2012/iul_aug_2012.pdf
    paginile 19 si 21

    http://www.revistanoinu.com/Scrierea-daca-este-pura-inventie.html

    RăspundețiȘtergere