61. Solidele Platon - Dialogul Timaios ( 1 )

Solidele Platon - Dialogul Timaios ( 1 )

1⁰ În şcoala lui Pitagora se legifera: la originea lumii este numărul. Această noţiune avea un înţeles adânc: Universul are în el armonie completă şi anumite relaţii ce există între lumile componente, între părţile componente, chiar între particulele cele mai mici, atât de mici încât mintea nu le mai poate gândi, atunci aceste relaţii stau sub puterea unor constante numerice. Numărul este o entitate inteligentă.

Această legătură subtilă dintre numere şi eternitate se stabileşte pe timpul când iau naştere numerele, iar primul număr apare pentru a relaţiona cu unitatea, dar Unitatea este temelia:

„ Principiul tuturor lucrurilor este unitatea. Luând naştere din această unitate, doimea nedefinită serveşte ca substrat material unităţii, care este cauza; din unitate şi din doimea nedefinită se nasc numerele , din numere punctele, din puncte liniile, din linii figurile plane, din figurile plane figurile solide, din figurile solide corpurile sensibile ale căror elemente sunt patru: focul ,apa, pământul şi aerul; aceste elemente se schimbă între ele şi se transformă în toate lucrurile, iar din ele se naşte un univers însufleţit, dotat cu raţiune, sferic, cuprinzând în mijloc pământul, care este tot sferic şi locuit de jur împrejur“ Diogenes Laertios – despre vieţile şi doctrinele filozofilor, traducere – acad. Prof. C.I.Balmuş - 1963.

Dacă între elemente există un echilibru atunci vremurile sunt bune, viaţa este adusă de lumină prin rază; părţile corpului uman erau cunoscute şi purtau denumiri. Se vorbeşte despre suflet care nu se află numai în creier , iar minte are numai omul.

„ Pe când Moiris a descoperit, cel dintâi, principiile elementare ale geometriei, după spusele lui Anticleides, din cartea a doua a lucrării lui Despre Alexandru, Pitagora a fost acela care a adus geometria la perfecţie, studiind, timp foarte îndelungat aspectul aritmetic al geometriei“.

(Diogenes Laertios – despre vieţile şi doctrinele filozofilor)

2⁰ Platon a susţinut şcoala lui Pitagora: nu a înlăturat asemenea concepte, mai mult , prin paralelism, le-a dezvoltat dându-le forme noi şi profunzime,totul fiind însoţit de o mare putere de convingere.

Dacă la început a fost numărul şi punctul s-a născut din numere, Platon prelungeşte acest raţionament şi la o sută de ani distanţă de Pitagora zice: „Zeul în veci geometrizează.“ Platon nu neglijează numărul, ci caută relaţia de legătură dintre elementele care produc atâta armonie în Univers şi o găseşte în cea ce numim secţiunea de aur care stă la baza „Proporţiei divine”.

Acest raţionament îl determină să scoată în faţă formele perfecte ale geometriei: atât formele cât şi raţionamentele geometriei reprezintă un inel de legătură între lumea materială ( fiinţe şi obiecte ) şi esenţa divină a ideilor.

Pe lângă altele spune despre suflet că a cuprins corpul din toate părţile, în cerc şi iradiază din centru. Dacă mişcarea sufletului a fost descifrată , atunci Universul , în mişcarea lui , urmează aceleaşi legi; privim în oglindă şi deducem: corpul uman şi toate cele ce sunt părţi ce au apărut au ca model (plin de perfecţiune) Universul ţinut în armonie de Sufletul Lumii.

3) În dialogul numit Timaios, Platon pune bazele unui sistem coerent de a explica lumea : pentru el Universul este creat prin participarea a patru corpuri cărora le corespund elementele esenţiale: pământ,foc, aer şi apă; din pământ ca să fie solid (cubul),din foc ca să fie observabil (tetraedrul), din apă ( icosaedrul) şi aer ( octaedrul) ca să existe armonia dată de proporţie. Haosul reprezintă o parte din Univers unde lipseşte raţiunea, elementele erau fără proporţie şi fără amestec, pluteau - formate deja - în statornicie , dar întregul nu se formase. Cel care începe ordinea lumii este Demiurgul : prin corespondenţa pe care o propune - dintre corpuri şi elemente - de fapt se face un îndemn la ordine făcând elementele să devină participante prin aceea că le-a dat formă şi , cu ajutorul numerelor le-a ordonat. Prin faptul că propune figurile geometrice pentru a corespunde părţilor infime de materie – este în concordanţă cu ideea că Universul este guvernat de legi simple şi exprimabile matematic: la capitolul simetrie ,Solidele sunt de neegalat şi simetria le individualizează puternic .

Cosmologia expune un model pentru universul fizic, pentru cosmos, o reprezentare coerentă şi riguroasă a universului. Cosmologia este o cuprindere de alte domenii decât matematică: fizica, biologia, chimia, medicina,psihologia, religia, etc. Timaios este prima operă de tip enciclopedic cunoscută în Grecia. Nu există o ordine alfabetică sau de altă natură de prezentare a noţiunilor, dar în vremea aceea cunoştinţele de medicină ,filozofie, matematică , etc. puteau fi asimilate de o singură persoană, nu exista o specializare în vreun domeniu.

Dialogul Timaios a fost numit de multe ori opera fundamentală a lui Platon. Lectura acestui dialog nu este deloc uşoară,iar conţinutul de tip cosmologie ia în considerare noţiuni din multiple direcţii, deci reprezintă primul sumum de cunoştinţe de tip enciclopedic şi actul în sine ţine şi de tradiţional, în primul rând pentru că nu dispare preocuparea pentru a fi explicată originea Universului; cei de dinainte descriau originile universului (macrocosm) şi ale omului (microcosmos),promulgau norme şi principii pentru modelul ideal. Cosmologia se opune cosmogoniei, care este o naraţiune non - raţională ,mit despre originile lumii.

Pentru prima dată în istorie se pune problema cunoştinţelor „ştiinţifice“

- atât în conţinut cât şi în felul în care sunt prezentate. Explicaţia ştiinţifică trebuie să prezinte atât necesitate cât şi idealitate – acestea nu pot fi deduse din percepţia imediată a datelor sensibile, adică nu avem siguranţă când ne bazăm numai pe date oferite de simţurile noastre. Pentru a rezolva astfel de probleme, Platon introduce (creează) ceea ce va deveni metodă de cercetare ştiinţifică: metoda ipotetică - deductivă. Specificul acestei metode constă în a fi propusă o listă de ipoteze ( axiome ), apoi pe baza regulilor de deducţie

(logică) să se ajungă la o corelaţie rezonabilă între propunere şi rezultat; în Timaios observaţiile sunt puţine iar experimentele sunt aproape inexistente, cel mult este dezvoltat un anume comentariu pentru a statornici valabilitatea unui anumit sistem. Este imaginată o experienţă când vrea să probeze gravitatea unei acţiuni când partea activă este focul şi ca dovadă „s-a mers pe calea unui raţionament în care verosimilul se îmbină cu necesitatea“. Principiile de esenţă înaltă nu se justifică – ele sunt date: „cât despre principiile şi mai înalte decât acestea , pe acelea doar zeul le ştie şi , dintre oameni, numai cei îndrăgostiţi de el“; acestea sunt afirmate în concordanţă cu spiritul grec pentru care raţionalul nu este înzestrat cu omnipotenţă, chiar zeii obţin soluţii prin forţă sau persuasiune.

4) Pentru zămislirea Universului – partea neraţională a fost determinată a se supune celei raţionale de la primul pas, deci a existat consens, cooperare şi nu ciocnire de principii – în esenţă opuse. Universul este descris în forma în care se crede că există şi această formă este ideală, a crea un alt model pentru un univers mai bun ( o utopie ) ar fi o greşeală enormă ( de neiertat): „lumea este în întregul ei , un singur zeu“ .

Universul este lipsit de griji, nu se poate îmbolnăvi, nu îmbătrâneşte, nu se schimbă şi descrierea lui trebuie făcută exact, în mod clar, inteligibil, pe când , descrierea lumii fizice nu ar trebui să fie mai convingătoare ca o poveste şi mereu schimbătoare după cum schimbarea ei se va produce.

Cauza naşterii Universului trebuie să fie un Demiurg, de aceea ambele entităţi sunt intangibile, pentru veşnicie Universul are în Demiurg un model.

Increatul era starea difuză şi informă ( lipsa omogenităţii ) în care se afla Substanţa, cele patru elemente ( pământ,aer,foc,apă - în corespondenţă cu Solidele Platonice) erau amestecate fără proporţii şi fără scop, mişcarea era haotică şi discordantă din cauza unor forţe oarbe numite şi cauze secundare; actul Creaţiei a fost de a aduce ordine , claritate şi scop pentru Substanţa Primordială,această organizare s-a făcut după un singur model ( unicitatea).

O dată creată – lumea devine pentru vecie, in planul Ordinei, o făptură vie dotată cu suflet şi deţinând secrete de înţelepciune date de Creator.

Această idee a grupului care se manifestă în diferitele acţiuni la nivel de individ prin impuls trimis ca lege din partea întregului – este uluitoare. Întregul are stare ( este conglomerat ) pentru că o cauză centrală şi egală pentru fiecare parte există şi pulsează permanent tărie până spre particula oricât de mică şi oricât de îndepărtată; tratamentul nediscriminatoriu şi continuu al părţilor menţine armonia pentru întreg, care la rându-i devine parte.

Sufletul Lumii se manifestă difuz şi în oricare direcţie.

Necesitatea elementelor: nu este posibil să fie puse în evidenţă organisme şi solide folosind numai două elemente; al treilea element , prin prezenţă , creează legături de interdependenţă între primele două pentru armonie prin proporţie ( cea mai frumoasă proporţie între trei elemente este cea care le uneşte cel mai mult – proporţia geometrică):

„Dintre legături, cea mai frumoasă este aceea care se face pe sine şi pe cele corelate cu ea să fie cât mai unitară; iar acest lucru îl realizează în chipul cel mai complet, prin natura ei, proporţia geometrică“ (Platon, Timaios,, trad. Cătalin Partenie, în Opere, VII, p. 144).

5) Prezenţa celui de-al patrulea element a fost necesară deoarece Universul nu se manifestă în D2 unde o singură proporţie ar fi fost îndeajuns, ci se manifestă în D3 unde fiinţează solidele , iar solidele pot fi unite numai prin intermediul a două medietăţi: de aceea Creatorul a plasat apa şi aerul între foc şi pământ. Focul, apa , aerul şi pământul sunt numele unor însuşiri, nu al unor substanţe. Mişcarea corpurilor nu este posibilă fără acţiunea sufletului, iar mişcarea corpurilor cosmice este posibilă prin aceea că sufletul lumii este permanent in acţiune; mişcarea lor devine ordonată numai când sufletul intră în propria ordine şi acesta este momentul Creaţiei.

Necesitatea dezvoltării unor astfel de noţiuni apare mai întâi în dialogul „Republica“, unde starea de lucruri este prezentată lui Socrate:

„O, Socrate, ar fi fost normal ca de la dimensiunea a doua să se treacă la cea de-a treia, adică la corpurile cu înălţime, dar se pare că aceste studii nu s-au dezvoltat încă… şi acum sunt într-o stare atât de ridicolă că, până ce Statul nu va ajuta la progresul lor, ar fi mai bine să se treacă de la geometria plană direct la astronomie!“

Pentru acest moment avem încă un exemplu când cele descoperite de cei dinainte nu sunt înlăturate – dacă acele cunoştinţe au rezistenţă, ci sunt completate şi eventualul retuş se face din mers: Platon îndeamnă pe Teetet să-l studieze pe Timeus şi (ei) sunt de acord cu corespondenţa stabilită între cele cinci poliedre şi cele patru elemente primordiale. Meritul lui Platon este că a dezmorţit lumea antică: cele cinci poliedre încă mai ascund taine.

6) Lumea geometriei este perfectă în absolut, de aceea Zeul a creat această lume sub forma unui glob ( sferă); mişcarea circulară este cea mai potrivită pentru minte şi inteligenţă fiind asigurată uniformitatea.

Platon nu s-a considerat niciodată geometru, în Academie nu se practica geometria, însă înscrisul de pe frontispiciul grădinii Hecademos îndepărta pe oricine nu aprofunda tainele geometriei; a crea geometrie ţine de har, a fi posibil să înveţi geometrie ţine de ordine.

Limbajul geometriei îl ajută să prezinte o imagine a celor ce există – operă a Creatorului, dar această operă nu poate fi decât perfectă şi această perfecţiune este posibil a fi descrisă prin analogie ( corespondenţă ) cu domeniul perfect în absolut al geometriei: Creatorul ne-a dăruit gândirea şi geometria pentru a ne înlesni calea către el şi opera lui. Geometria devine instrument de nuanţă filozofică: vehicul pentru gândul filozofului.

Legăturile geometriei văzută de Platon cu lumea concretă se realizează prin metafora formei: stările Substanţei au anumite însuşiri cărora le corespund anumite forme …geometrice. Prin Solidele geometrice sugerează forme pentru elemente şi mai departe forma se identifică cu esenţa.

Elementele primordiale ţin de Creaţie, de Perfecţiune şi le corespund solide pe măsură …perfecte.

7) Într-un punct înalt al gândirii se întâlnesc spiritualitatea cu metafora şi cu raţiunea ( matematică), este punctul asemănător celui văzut peste veacuri de Ion Barbu – punctul în care geometria se întâlneşte cu poezia.

Numai prin simplă alăturare discursul geometric al lui Platon ar păli faţă de cel filozofic,dar prin metaforă induce căldură şi strălucire limbajului (arid) al geometriei;acest hibrid ce a rezultat face ca discursul filozofic să devină incitant, care – paradox – prin acest demers măreşte doza de mister: s-a considerat, pe de o parte, că Platon descrie un Univers născut sau,pe de altă parte,că descrie Universul aşa cum este el în eternitatea lui.

Corespondenţa dintre Elemente şi Solide este similară corespondenţei dintre registrul uman şi cel divin. Pentru a descrie modul în care universul a devenit complex, reprezentarea lumii prin geometrizare este ideală.

De la figurile cele mai simple ( triunghiul dreptunghic isoscel şi triunghiul dreptunghic ce are măsura unui unghi ascuţit dublul măsurii celuilalt unghi ascuţit) până la icosaedru este drum lung:

„ Dintre aceste triunghiuri ,unul are, de fiecare parte, jumătate dintr-un unghi drept, a cărui împărţire e determinată de laturi egale; celălalt are părţi inegale ale unui unghi drept, împărţite de laturi inegale.“

Corespondenţa realizată de Platon este privită de unii comentatori drept o corectare a atomismului lui Democrit: corpurile regulate ce desemnează cele patru elemente pot fi descompuse în triunghiuri sau suprafeţe de forma pătratului şi toate acestea pot fi reduse la cele două triunghiuri elementare.

Triunghiurile elementare devin particule prin micşorare continuă:

„ Iar pe toate aceste corpuri trebuie să le concepem atât de mici încât , luat câte unul, fiecare să fie, datorită micimii sale, invizibil de către noi, masele lor putând fi văzute numai când se află adunate mai multe la un loc. Cât despre proporţiile privind numărul, mişcările şi celelalte puteri ale lor în general, de bună seamă că zeul, în măsura în care firea necesităţii se lasă de bună-voia ei înduplecată, le-a adus la desăvârşire , cu grijă pentru fiecare amănunt, şi le-a îmbinat după cuvenita proporţie.“

Codurile Creaţiei sunt geometrice, cel mai frumos dintre triunghiuri este elementul care poate fi micşorat până când nu-l mai putem pricepe.

Este posibil să acoperim o suprafaţă plană extinsă oricât este nevoie numai cu triunghiuri echilaterale: câte şase au câte un vârf comun şi , consecutiv, laturi comune; de aici provine demonstraţia faptului că nu există mai mult de cinci corpuri regulate ( Solide Platon): cele şase triunghiuri aflate în poziţia descrisă mai sus sunt incluse în acelaşi plan ( nu formează unghi spaţial) , piramida hexagonală regulată cu feţele triunghiuri echilaterale are înălţimea zero (limbajul geometriei elementare). Dacă cinci triunghiuri echilaterale congruente au un vârf comun si laturile comune consecutiv , atunci rămâne o parte neacoperită – de valoarea unghiului cu măsura de 60 grade: dacă suprapunem ultimele două laturi atunci „construcţia“ se ridică în D3 şi obţinem unghiul spaţial cu cinci feţe – al icosaedrului. Dacă folosim patru triunghiuri echilaterale şi procedăm asemănător obţinem unghiul spaţial al octaedrului şi trei pentru unghiul spaţial al tetraedrului.

Primele poliedre reprezintă simbolic stările de agregare: solidă - pământul, lichidă - apa, gazoasă - aerul, energia capabilă să modifice starea de agregare - focul, plasma.

Al cincilea poliedru, cu feţe pentagonale, corespunde divinităţii.

Bibliografie

a) Cărţi şi manuale

1) Platon – OPERE vol VI – Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1989

2) Platon - OPERE vol VII – Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1993

3) Diogenes Laertios – despre vieţile şi doctrinele filozofilor, traducere – acad. Prof. C.I.Balmuş – Editura Academiei Republicii Populare Române, Bucureşti - 1963.

4) Rodica Câmpan - A doua carte cu probleme celebre – Editura Albatros, 1972

5) Filosofia greacă până la Platon II – Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti,1984 .

6) Adolf Haimovici şi Constantin Borş – Elemente de geometria spaţiului,Editura didactică şi pedagogică - 1970.

7) A.N. Kolmogorov şi alţii – Geometrie pentru clasele VI – VIII, Editura Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1979.

8) Viorel Gh. Vodă – Vraja geometriei demodate, Editura Albatros, Bcureşti - 1983.

9) M. Mihaileanu, C.Ionescu - Bujor, C. Ionescu - Tiu – Geometria în spaţiu, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti - 1975.

10) Augustin Coţa, Marta Rado s.a. – Geometrie şi tigonometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti - 1982.

11) Gh. D. Simionescu şi Cezar Coşniţă – Geometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşyi - 1966.

12) Stefan Sabău şi Dumitru Săvulescu – Cum demonstrăm că …?, Editura Paralela 45, 1996.

13) Diana Bell, Josef Rogers, Eryl Rothwell Hughes - Arie, masă, volum , Editura Didactică si Pedagogică, Bucureşti, 1981.

b) Adrese Net

1) http://www.didactic.ro/profil-utilizator-rotarugrigore

2) http://rozetaalbastra.blogspot.com/

3) http://strasihastrii.blogspot.com/

4) http://www.chronomath.com/

5) http://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodecaedre.shtml

6)http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/gold.htm

7) http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/index1.htm

8) http://www.kjmaclean.com/Geometry/dodecahedron.html

9) http://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A8dre_r%C3%A9gulier

10) http://pagesperso-orange.fr/math.lemur/3d/parfait.htm

11) http://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodecaedre.shtml

12) http://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A8dre_r%C3%A9gulier

13) http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

14) http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Pyramide.htm#tetra Pentru volum

15) http://cursuriumc.evolink.ro/IFR/Navigatie/An%201/Semestrul%201/Geom_descr_des_tehn_IFR/cap1.pdf

16) http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

17) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/tetraedre_seconde.html

18. http://sarthe.cijm.org/index.php?Itemid=17&id=86&option=com_content&task=view

19. http://polyhedra.mathmos.net/entry/platonicsolids.html

20. http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/tetra.htm

21. http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/euler.htm

22. http://pagespro-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/platon.htm

23) http://blogue.sciencepresse.qc.ca/physique/item/211

24. http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html

25. http://fr.wikipedia.org/wiki/Icosa%C3%A8dre#Voir_aussi#Voir_aussi foarte bun pentru icosaedru

26. http://www.jimloy.com/math/math.htm

27. http://kjmaclean.com/Geometry/Icosahedron.html

28. http://www.google.com/gwt/n?u=http%3A%2F%2Fperso.wanadoo.fr%2Ftherese.eveilleau%2Fpages%2Ftruc_mat%2Ftextes%2Fplaton.htm generalitati

29. http://www.google.com/gwt/n?u=http%3A%2F%2Fhypo.ge.ch%2Fwww%2Fmath%2Fhtml%2Fnode49.html muzica sferelor

30. http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polyedre.htm#type

31. http://wapedia.mobi/fr/Groupe_de_sym%C3%A9trie

32. http://wapedia.mobi/fr/Euclide

33. http://wapedia.mobi/fr/T%C3%A9tra%C3%A8dre

34. http://wapedia.mobi/fr/T%C3%A9tra%C3%A8dre

35. http://wapedia.mobi/fr/Cube

36. http://wapedia.mobi/fr/Octa%C3%A8dre

37. http://wapedia.mobi/fr/Dod%C3%A9ca%C3%A8dre

38.http://wapedia.mobi/fr/Icosa%C3%A8dre

39. http://www.toonz.com/personal/todesco/java/polyhedra/cube_octahedron.html

40.http://solides-de-platon.monserveurperso.com/pmwiki.php/TpeMathsFr/ExplicationDuTimee

42. http://www-chimie.u-strasbg.fr/~lcmes/etatmat/td1.htm

43.http://www-chimie.u-strasbg.fr/~lcmes/labo/index.htm#images_index

am dat: tetraede,feu,etat plasma

44. http://www-chimie.u-strasbg.fr/~lcmes/etatmat/grecs.htm

45.http://dhyanchohan.unblog.fr/tag/les-crop-circles/

46.http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/polyedre.html#ch3

47. Géométrie Sacrée - Codes Création - Solides de Platon - Sacred ... te

48) http://www.crestinortodox.ro/editoriale/70093-ontologia-simbolica-a-cosmologiei-lui-platon-si-aristotel

49) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/polyedre.html#ch3

50) http://kjmaclean.com/Geometry/Icosahedron.html

51) http://pagesperso-orange.fr/math.lemur/3d/angledo/angletetr.htm

52) http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polyedre.htm

53) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/geospace_seconde_classique.html

54) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_college_classique.html#ch5

55) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/tetraedre_seconde.html#ch3

56) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/polyedre.html

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/espace_1s.html

57) http://solides-de-platon.monserveurperso.com/pmwiki.php/TpeMathsFr/Tetraedre

59) http://www.kulturica.com/solides.htm

59) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/polyedre.html#ch3

60) http://pagesperso-orange.fr/debart/geospace/geospace_seconde_classique.html

61) http://solides-de-platon.monserveurperso.com/pmwiki.php/TpeMathsFr/DemonstrationDeSchla

62) http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/euler.htm

63) http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/geospace_seconde_classique.html#platon

64) http://mathematische-basteleien.de/pentagondodekaeder.htm

http://gc.saliege.fr/projet/ballade/platon1.htm

http://files.codes-sources.com/fichier.aspx?id=31737&f=platon.html

http://goldennumber.net/math.htm

http://www.google.com/gwt/n?u=http%3A%2F%2Faleph0.clarku.edu%2F~djoyce%2Fjava%2Felements%2FbookXIII%2FpropXIII13.html

http://solides-de-platon.monserveurperso.com/pmwiki.php/TpeMathsFr/InfluenceDePythagore

Pythagore

http://wapedia.mobi/fr/Platon

http://wapedia.mobi/fr/Dual_d%27un_poly%C3%A8dre

Le tétraèdre est son propre dual

solide		dual
tétraèdre		tétraèdre
cube		octaèdre
octaèdre		cube
icosaèdre		dodécaèdre
dodécaèdre		icosaèdre

http://www.achat-lyon.com/pro7306-SOLIDES-DE-PLATON.htm

http://solides-de-platon.monserveurperso.com/pmwiki.php/TpeMathsFr/BiographieDesMathematiciensAyantTravailleSurLesCinqSolidesDePlaton

-http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/Polyedre.htm

-http://www.centretpe.com/tpe-tipe/geometrie_virus/

-http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/platon.htm

-http://www.saliege.com/dynamique/projet/ballade/platon1.htm

-http://hypo.ge.ch/www/math/html/node49.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

http://www.kjmaclean.com/Geometry/Cube.html

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/espace_1s.html#tp1

http://translate.google.com/?hl=ro#

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cubocta%C3%A8dre

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geospace/geospace_terminale.html

http://www.scribd.com/doc/13789065/Curs-04-Teorie-an-2-Sem-2

http://www.csc.matco.ro/forma.html

Simetria Solidelor Platon ( 2 )

solidelePlaton_simetria_1_ (2)

de Grigore Rotaru Delacamboru

( scoala Varbilau - Prahova )